Como encontrar e simplificar a raiz de 72 passo a passo

A raiz de 72 é um exemplo útil para entender que nem toda raiz quadrada resulta em número inteiro. Embora 72 não seja um quadrado perfeito, seu radical pode ser simplificado ao identificar fatores que formam quadrados perfeitos. O resultado exato é expresso por meio de uma raiz menor, enquanto uma aproximação decimal ajuda em medições, contas práticas e conferências de resultado.

O que significa calcular uma raiz quadrada

Calcular a raiz quadrada de um número positivo é procurar o valor que, multiplicado por ele mesmo, produz o número inicial. Por exemplo, a raiz quadrada de 49 é 7 porque 7 × 7 resulta em 49. Quando o número não pode ser escrito como o quadrado de um inteiro, a raiz não é inteira.

No caso de 72, não existe um número inteiro cujo quadrado seja exatamente 72. Os quadrados inteiros mais próximos ajudam a perceber isso: 8 ao quadrado produz 64, e 9 ao quadrado produz 81. Portanto, a raiz quadrada de 72 está entre 8 e 9.

Essa comparação é útil, mas não entrega a forma exata do resultado. Para isso, é preciso observar a composição do número e separar os fatores que podem sair do símbolo de raiz.

Por que 72 não é um quadrado perfeito

Um quadrado perfeito é um número obtido pela multiplicação de um inteiro por ele próprio. Alguns exemplos são 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 e 81. Esses valores têm raízes quadradas inteiras.

O número 72 fica entre 64 e 81, que são quadrados perfeitos consecutivos. Isso mostra que sua raiz é maior que 8 e menor que 9, mas também indica que o resultado não pode ser um inteiro. Ainda assim, 72 contém um fator quadrado perfeito: 36.

A propriedade central é a seguinte: quando um fator quadrado perfeito aparece dentro de uma raiz, sua raiz pode ser retirada do radical. Como 36 é um quadrado perfeito, essa observação torna a simplificação direta.

Como simplificar a expressão passo a passo

Há mais de uma maneira correta de simplificar a raiz quadrada de 72. A forma mais curta consiste em decompor 72 em 36 multiplicado por 2. Em seguida, aplica-se a propriedade da raiz do produto.

1. Escreva 72 como 36 × 2.
2. Separe a raiz: √72 = √(36 × 2).
3. Use a propriedade √(a × b) = √a × √b, para valores não negativos.
4. Calcule √36, que é 6.
5. Mantenha √2, pois 2 não possui fator quadrado perfeito maior que 1.

Assim, a expressão fica √72 = 6√2. Essa é a forma simplificada e exata. Não se deve transformar √2 em um inteiro, porque ele é irracional: sua representação decimal não termina e não apresenta repetição periódica.

Conferindo pela multiplicação

Uma maneira confiável de verificar a simplificação é elevar o resultado ao quadrado. Ao fazer isso com 6√2, obtém-se (6√2)². O quadrado de 6 é 36, e o quadrado de √2 é 2. Logo, 36 × 2 resulta em 72.

Essa conferência evita um erro comum: retirar da raiz um fator que não é quadrado perfeito. Apenas fatores organizados em pares idênticos na fatoração podem sair integralmente do radical.

Fatoração prima como método geral

A decomposição em fatores primos é especialmente útil quando o fator quadrado perfeito não é percebido de imediato. Para decompor 72, divide-se o número por fatores primos até chegar a 1. O resultado pode ser escrito como 2 × 2 × 2 × 3 × 3.

Outra escrita equivalente é 2³ × 3². Dentro da raiz quadrada, cada par de fatores iguais permite retirar um fator para fora. O par de 2 fornece um 2, o par de 3 fornece um 3 e sobra um único 2 dentro da raiz.

Multiplicando os fatores retirados, 2 × 3 resulta em 6. A parte que sobra é √2. Portanto, a fatoração prima também leva a 6√2.

Forma exata e aproximação decimal

O resultado 6√2 é chamado de forma exata porque preserva o valor sem arredondamentos. Já uma calculadora pode mostrar uma aproximação decimal, situada entre 8 e 9. Essa aproximação é adequada quando uma conta exige casas decimais, como em medidas de comprimento, área ou distância.

É importante distinguir os dois usos. Em exercícios de álgebra, geometria e simplificação de expressões, a forma exata costuma ser preferível porque permite novas operações sem perda de precisão. Em situações práticas, pode ser necessário arredondar, mas o critério de arredondamento deve acompanhar a precisão pedida pelo problema.

A expressão 6√2 e sua forma decimal representam o mesmo valor, mas não têm a mesma utilidade em todos os cálculos.

Se for preciso estimar mentalmente, basta lembrar que √2 é um pouco maior que 1,4. Ao multiplicar esse valor por 6, obtém-se um resultado pouco acima de 8,4, coerente com o fato de √72 estar entre 8 e 9.

Erros frequentes ao lidar com radicais

Alguns equívocos aparecem com frequência porque as regras das raízes não funcionam da mesma forma que as regras usuais de soma e multiplicação. Reconhecê-los ajuda a manter a conta organizada.

• Tratar 72 como se fosse quadrado perfeito: não é correto afirmar que √72 é um inteiro. A comparação com 64 e 81 já mostra que isso não ocorre.
• Somar os algarismos para encontrar a raiz: a soma dos algarismos não é um procedimento para calcular raízes quadradas.
• Separar uma soma dentro da raiz: √(a + b) não é igual a √a + √b em geral. A propriedade usada na simplificação vale para produtos de valores não negativos.
• Interromper a simplificação cedo: expressões como 2√18 e 3√8 são equivalentes a √72, mas ainda contêm quadrados perfeitos em seu interior.
• Arredondar antes de terminar a conta: trocar √2 por decimal muito cedo pode introduzir pequenas diferenças no resultado final.

Como identificar o maior fator quadrado perfeito

Buscar o maior fator quadrado perfeito de um número torna a simplificação mais eficiente. Para 72, os quadrados perfeitos que dividem o número incluem 1, 4, 9 e 36. Entre eles, 36 é o maior, por isso a decomposição 72 = 36 × 2 leva ao resultado em uma única etapa.

Uma estratégia prática é observar os quadrados perfeitos conhecidos e testar quais dividem o número sem deixar resto. Quando o número é maior ou a divisão não é evidente, a fatoração prima fornece um caminho seguro. Nos expoentes da fatoração, cada grupo de dois fatores iguais forma um par que sai da raiz.

O papel dos pares na fatoração

Em uma raiz quadrada, dois fatores iguais produzem um fator fora do radical. Por exemplo, √(5 × 5) é igual a 5. Se houver quatro fatores iguais, formam-se dois pares; se houver um fator sem par, ele permanece dentro da raiz. Essa lógica vale para qualquer número positivo e explica por que a escrita fatorada facilita o procedimento.

Aplicações em geometria e resolução de problemas

Radicais surgem com frequência em fórmulas geométricas. Uma distância calculada pelo teorema de Pitágoras, por exemplo, pode levar a uma raiz não exata. Se a soma dos quadrados dos catetos for 72, a hipotenusa terá medida √72, ou 6√2 na forma simplificada.

Em problemas com áreas, diagonais e escalas, manter a expressão simplificada facilita comparações e operações posteriores. Ao comparar 6√2 com outro radical, pode ser mais simples trabalhar simbolicamente do que converter tudo para decimais. A aproximação deve entrar apenas quando o contexto exigir uma medida numérica arredondada.

Também vale observar a unidade de medida. Se 72 vier de uma soma de áreas ao quadrado ou de comprimentos ao quadrado, a raiz retorna à unidade linear correspondente. A operação matemática não elimina a necessidade de interpretar o que o número representa.

Exercícios para consolidar o raciocínio

Praticar com valores semelhantes ajuda a reconhecer padrões. O objetivo não é decorar resultados isolados, mas localizar quadrados perfeitos e justificar cada transformação.

1. Simplifique √8 procurando um fator quadrado perfeito.
2. Escreva √18 por meio de um radical simplificado.
3. Compare √72 com 8 e 9 sem usar calculadora.
4. Verifique, elevando ao quadrado, se 6√2 produz 72.
5. Explique por que 2√18 representa o mesmo valor que 6√2, embora não seja a forma mais simplificada.

Ao resolver, procure registrar a decomposição usada. Essa etapa deixa claro de onde vem cada fator e reduz a chance de aplicar propriedades inadequadas. O resultado mais importante é a compreensão de que simplificar não altera o valor: apenas apresenta a mesma quantidade de uma forma mais útil.

Referencias

• Ministério da Educação — materiais curriculares de Matemática.
• Base Nacional Comum Curricular — documento curricular oficial.
• Sociedade Brasileira de Matemática — publicações de divulgação e ensino.
• Instituto de Matemática Pura e Aplicada — materiais educacionais de Matemática.
• Manuais didáticos de álgebra elementar — materiais de referência escolar.