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Como Fazer Equação de 2 Grau: Passo a Passo Simples

Este artigo foi publicado pelo autor Cidesp em 04/09/2024 e atualizado em 04/09/2024. Encontra-se na categoria Artigos.

As equações do 2º grau são um dos temas mais importantes na matemática e são frequentemente encontradas em diversos contextos, desde situações cotidianas até aplicações mais complexas na engenharia e na economia. Neste artigo, iremos abordar de maneira detalhada e simples como resolver equações do 2º grau, além de oferecer exemplos, exercícios e dicas úteis para você dominar este assunto.

O que é uma Equação do 2º Grau?

Uma equação do 2º grau, também conhecida como equação quadrática, é uma expressão matemática da forma:

[ ax^2 + bx + c = 0 ]

onde: - ( a ), ( b ) e ( c ) são constantes, e ( a \neq 0 ); - ( x ) representa a variável.

As equações do 2º grau têm um papel fundamental na matemática, pois suas soluções representam as interseções de uma parábola com o eixo x. Resolver uma equação do 2º grau envolve encontrar os valores de ( x ) que satisfazem a equação.

Como Resolver Equação do 2º Grau?

Para resolver uma equação do 2º grau, você pode utilizar diferentes métodos. O mais comum é a fórmula de Bhaskara, mas existem outros métodos que podem ser mais rápidos em situações específicas.

Fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara é o método padrão para resolver equações do 2º grau. A fórmula é dada por:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} ]

onde ( \Delta ) (ou discriminante) é calculado como:

[ \Delta = b^2 - 4ac ]

Passo a passo para utilizar a fórmula de Bhaskara:
  1. Identifique os coeficientes: Determine os valores de ( a ), ( b ) e ( c ) na equação.
  2. Calcule o discriminante: Utilize a fórmula ( \Delta = b^2 - 4ac ).
  3. Analise o valor de ( \Delta ):
  4. Se ( \Delta > 0 ): existem duas soluções reais e distintas.
  5. Se ( \Delta = 0 ): há uma solução real e dupla.
  6. Se ( \Delta Calcule as raízes: Use a fórmula de Bhaskara substituindo os valores obtidos.

Como Calcular Função 2 Grau?

A função do 2º grau pode ser representada pela forma:

[ f(x) = ax^2 + bx + c ]

Para calcular o valor da função para um dado ( x ), basta substituir ( x ) na expressão. Por exemplo, se temos a função ( f(x) = 2x^2 + 3x - 5 ) e queremos calcular ( f(2) ):

  1. Substitua ( x ) por 2: [ f(2) = 2(2^2) + 3(2) - 5 ] [ = 2(4) + 6 - 5 ] [ = 8 + 6 - 5 = 9 ]

Logo, ( f(2) = 9 ).

Exemplos de Equação do 2º Grau Completa

Uma equação do 2º grau completa tem todos os coeficientes presentes, ou seja, ( a ), ( b ) e ( c ) são diferentes de zero. Por exemplo, considere a equação:

[ 2x^2 + 3x - 5 = 0 ]

Aplicando a fórmula de Bhaskara:

  1. Identificação dos coeficientes: ( a = 2 ), ( b = 3 ), ( c = -5 ).
  2. Cálculo do discriminante: [ \Delta = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) ] [ = 9 + 40 = 49 ]
  3. Obtenção das raízes: [ x = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} ] [ = \frac{-3 \pm 7}{4} ] [ x_1 = \frac{4}{4} = 1, \quad x_2 = \frac{-10}{4} = -2.5 ]

Portanto, as soluções são ( x_1 = 1 ) e ( x_2 = -2.5 ).

Quais são Equações do 2º Grau como ( x^2 + 2x - 1 = 0 )?

Consideremos a equação ( x^2 + 2x - 1 = 0 ) como um exemplo:

  1. Identificação dos coeficientes: ( a = 1 ), ( b = 2 ), ( c = -1 ).
  2. Cálculo do discriminante: [ \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8 ]
  3. Obtenção das raízes: [ x = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2} ]

Assim, as soluções são ( x_1 = -1 + \sqrt{2} ) e ( x_2 = -1 - \sqrt{2} ).

Como Fazer Equação de 2 Grau Incompleta?

Uma equação de 2º grau incompleta é aquela onde um ou mais coeficientes são iguais a zero. Por exemplo, na equação ( x^2 - 4 = 0 ), temos ( a = 1 ), ( b = 0 ) e ( c = -4 ).

Para resolver essa equação, podemos fatorar:

[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) = 0 ]

As soluções são ( x = 2 ) e ( x = -2 ).

Equações do 2º Grau - Exercícios 9º Ano

O 9º ano do ensino fundamental apresenta diversas situações práticas envolvendo as equações do 2º grau. Aqui estão alguns exercícios para praticar:

  1. Resolva a equação ( 3x^2 - 12x + 9 = 0 ).
  2. Calcule as raízes da equação ( x^2 - 6x + 8 = 0 ).
  3. Determine as soluções da equação incompleta ( 2x^2 = 10 ).

Respostas: 1. ( x = 3 ) 2. ( x = 2 ) e ( x = 4 ) 3. ( x = \sqrt{5} ) e ( x = -\sqrt{5} ).

Como Resolver Equação de 2 Grau Mais Rápido

Existem algumas dicas e truques para resolver equações do 2º grau de maneira mais rápida:

Como Resolver Equação de 2 Grau Sem Bhaskara

Além da fórmula de Bhaskara, você pode resolver equações do 2º grau através do método de completar o quadrado. Para a equação ( ax^2 + bx + c = 0 ), você pode reescrevê-la como:

[ a\left( x^2 + \frac{b}{a}x \right) + c = 0 ]

Em seguida, você adiciona e subtrai (\left(\frac{b}{2a}\right)^2) para completar o quadrado. Após simplificar, será possível encontrar as raízes.

Equação do 2 Grau Completa Exemplos

Veja a equação completa:

[ 4x^2 + 8x + 3 = 0 ]

  1. Coeficientes: ( a = 4 ), ( b = 8 ), ( c = 3 ).
  2. Calcula o discriminante: [ \Delta = 8^2 - 4\cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16 ]
  3. Soluções: [ x = \frac{-8 \pm \sqrt{16}}{2\cdot4} = \frac{-8 \pm 4}{8} ] [ x_1 = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = -\frac{3}{2} ]

Equação de 2 Grau - Exercícios Resolvidos Passo a Passo

Um exercício típico é resolver:

[ 5x^2 - 20x + 15 = 0 ]

  1. Identificação dos coeficientes: ( a = 5 ), ( b = -20 ), ( c = 15 ).
  2. Cálculo do discriminante: [ \Delta = (-20)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 15 = 400 - 300 = 100 ]
  3. Obtenção das raízes: [ x = \frac{20 \pm \sqrt{100}}{10} = \frac{20 \pm 10}{10} ] [ x_1 = 3 \quad x_2 = 1 ]

Equação do 2 Grau - 9º Ano

As equações do 2º grau são essenciais para a compreensão de diversos conceitos matemáticos no 9º ano, pois preparam os alunos para disciplinas como álgebra e geometria. É importante praticar e entender cada método de resolução.

Equação do 2 Grau Exercícios Resolvidos PDF

Para quem busca um material completo, vale a pena procurar por PDFs que ofereçam exercícios resolvidos. Eles geralmente incluem diferentes níveis de dificuldade e apresentam soluções detalhadas, ajudando os alunos a entender os passos necessários. Você pode encontrar esses materiais em sites educacionais, blogs de professores ou plataformas de ensino.

Conclusão

Dominar as equações do 2º grau é fundamental para avançar na matemática, pois elas se aplicam em diversas áreas do conhecimento. Neste artigo, abordamos desde os conceitos básicos até métodos de resolução e exemplos práticos. Pratique regularmente e explore diferentes exercícios para se tornar um especialista nesse assunto.

FAQ

1. O que é a fórmula de Bhaskara?

A fórmula de Bhaskara é um método de resolução de equações do 2º grau que utiliza o discriminante para encontrar as raízes da equação.

2. Quais são os tipos de soluções de uma equação do 2º grau?

As soluções podem ser reais e distintas, reais e iguais ou complexas, dependendo do valor do discriminante ( \Delta ).

3. Como posso resolver uma equação do 2º grau sem usar a fórmula de Bhaskara?

Você pode usar o método da fatoração ou completar o quadrado como alternativas eficazes.

4. Quais são os coeficientes de uma equação do 2º grau incompleta?

Em uma equação incompleta, pelo menos um dos coeficientes ( b ) ou ( c ) é igual a zero.

5. Como encontrar exercícios e soluções para equações do 2º grau?

Você pode procurar livros didáticos, plataformas de aprendizado online ou PDFs educacionais que disponibilizam exercícios práticos.

Referências

  1. HALL, J. A. Matemática: Fundamentos e Aplicações. Editora Saraiva.
  2. GOMES, R. Estudo de Equações do 2º Grau. Editora Moderna.
  3. GEVERS, M. Matemática para Ensino Fundamental. Editora Scipione.
  4. MARTINS, F. Prática de Matemática: Exercícios do 9º Ano. Editora Universo dos Livros.

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